Klassenarbeit Nr.1        Klasse 11

 

1) a) Geben Sie die Gleichung der Geraden (PQ) an mit P(-1ï3) und Q(3ï1).

        Berechnen Sie auf eine Stelle hinter dem Komma genau, unter welchen Winkeln

        die Gerade die beiden Achsen schneidet.                                                                   3P

    b) Berechnen Sie den Abstand der beiden Schnittpunkte mit den Achsen Sx und Sy

        auf zwei Stellen hinter dem Komma genau, ebenso die Koordinaten des Mittel­­-

        punktes der Strecke SxSy.                                                                                                3P

    c) Berechnen Sie die Gleichung jener Geraden, die im Schnittpunkt Sx mit der x-Achse

        senkrecht auf die obige Gerade auftrifft.                                                                      2P

    d) Zeichnung zu Aufgabe 1                                                                                                  2P

                                                          

2) a) Zeichnen Sie die Geraden y = tx - 3  für t = -3,  t  = 3,  t =                                                                                    

        in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.                                                             2P

    b) Für welchen Wert von t Î IR ist die zugehörige Gerade parallel, für welches t Î IR

        ist sie orthogonal zur 2. Winkelhalbierenden? Geben Sie die beiden Geraden-

        gleichungen an.                                                                                                                  2P

    c) Für welches t Î IR geht die Gerade durch Q(1ï2)?  Durch P(uïv)? Unter-

         scheiden Sie dabei u ¹ 0 und u = 0.                                                                             3P

    d) Für welches t Î IR schneidet die Gerade die x-Achse in A(3ï0)? In B(bï0)?

        Unterscheiden Sie dabei b ¹ 0 und b = 0.                                                                   3P

    e) Für welches t Î IR begrenzt die Gerade mit den negativen Koordinatenachsen ein

        Dreieck mit dem Flächeninhalt 5 FE?                                                                            4P

 

Klassenarbeit Nr.2        Klasse 11

 

1) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)  = x3  -  9x2   + 18x  +  2.  Zeigen Sie, dass das Schaubild

     zum Punkt ( 3 ï 2 ) symmetrisch ist.                                                                                             5P

 

 

2) Gegeben ist die Funktionenschar  ft mit ft(x)  =  x4  -  (t+2)x3  -  2(t2-t)x2 + 4t2x  ; x Î IR,  t ³ 0.

 

a) Wie lautet der Funktionsterm für  t  =  0?                                                                                     1P

     Zeichnen Sie das zugehörige Schaubild für  -0,5  £  x  £  2 (Einheit  2 cm, Viertel-Skala).       4P

     Woran erkennt man am Funktionsterm sofort, dass dieses Schaubild weder symmetrisch

     zur y-Achse, noch  punktsymmetrisch zum Ursprung  ( 0 ï 0 )  ist.                                    2P

 

b)  Es sei  t  >  0 :

     Zeigen sie, dass x  =  2  eine Nullstelle der Funktion ft unabhängig von t ist.                   2P

     Bestimmen Sie die weiteren Nullstellen.                                                                                     7P

 

3) Bestimmen Sie den Grenzwert von

 

      a)           b)           c)                                                3P

 

Klassenarbeit Nr. 3        Klasse 11

1) Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = ;  x Î IR. Bestimmen Sie die Gleichung der

    Tangente und der Normalen in P(2ôyo) auf der zugehörigen Kurve.                                              7P

 

2) a) Stellen Sie die Funktion f mit f(x) =ôx2 - 2ô;  x Î IR ohne Betragsstriche dar.                       2P

     b) Zeichnen Sie das zugehörige Schaubild.                                                                                          2P

     c) Beweisen Sie, dass diese Funktion an zwei bestimmten Stellen nicht differenzierbar ist.  4P

 

3)  Für welche t Î IR hat das Schaubild von ft  mit ft(x) = t(x2 +  x - 2); x Î IR in den

     Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die zueinander orthogonal sind.                            5P

 

4) Bestimmen Sie die Ableitung.

     a) ft(x) = 4x3 + 4xt                                             b)  g(x) =  4x - 3                                                           4P

 

Klassenarbeit Nr. 4        Klasse 11

 

1) a) Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion f mit

         f(x) = x 4  + x3  + ;   x Î IR.

        Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse, mögliche Hoch-, Tief- und 

        Wendepunkte samt den zugehörigen Steigungen.

         (Hinweis: x3 + 2x2 - 2x + 2 = 0 für x » -2.92).                                                                                     16P

 

2) a) Bestimmen Sie s in Abhängigkeit von t so, dass f an der Nahtstelle x0 stetig ist.

        Ermitteln Sie dann den Wert von t, für den f in x0 auch differenzierbar ist.

 

         f(x)  =    ;                                                                                                                    6P

 

3) Bestimmen Sie die drei ersten Ableitungen von g(x) = x-1 - cos(2x).                                               2P

 

Klassenarbeit Nr.5                Klasse 11

1) Zeigen Sie, daß jede Parabel mit der Gleichung y =  -x3 - x2 + bx ;   x Î IR,  b Î IR\{0}

    genau drei Schnittpunkte mit der x-Achse, genau einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen

    Wendepunkt hat. Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte in Abhängigkeit von b an.                        12P

 

2) In das Schaubild der Funktion ft(x) = -x2 + t;  t>1, x Î IR, wird ein Rechteck so einbeschrieben,

    daß zwei Eckpunkte auf der Kurve und zwei Eckpunkte auf der x-Achse liegen.

    a) Zeichnen Sie den Sachverhalt für t = 5.                                                                                                             2P

    b) Für welchen Eckpunkt P(uôv) mit u>0 erhält man ein Rechteck mit maximalem Umfang?             10P

 

Klassenarbeit Nr. 6        Klasse 11

 

1) Geben Sie eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades mit den angegebenen

    Eigenschaften an. Bestimmen Sie die Null-, Extrem- und Wendestellen. Zeichnen Sie ein

    Schaubild.

    f ist ungerade, f ¢(0) = -4 und f ¢(-3) = 4.                                                                                                  13P

 

2) Beweisen Sie: Der Kreisbogen mit festem Radius s bilde den Mantel eines senkrechten

    Kreiskegels. Hat ein solcher Kegel maximalen Rauminhalt, so ist V =  und der

    Mittelpunktswinkel des Kreisbogens a = 120° . (Skizzen erlaubt.)                                            11P