Länge einer Strecke:
z.B. für A(1,2|4) , B(3,4|5,5) ;
über den Satz des
Pythagoras: 2nd( ( 3,4 - 1,2)2 + (5,5 - 4)2 ) ENTER
2,66…
wenn man nicht über den Satz des Pythagoras rechnen will:
2nd{1.2, 4 2nd
} STO L1 ENTER
und 2nd{3.4, 5.5 2nd} STO L2 ENTER
mit 2nd STAT (LIST) MATH 5 (sum) gibt man ein: sum((L2-L1)2) ENTER
7,09 ;
ANS ENTER 2,66…
Punkt auf einer Geraden?:
MODE Func ; Y = , z.B. für Y1 = 0,75X - 6,75, mit GRAPH zeichnen lassen,
2nd TRACE (CALC) 1 (value); X = einsetzen, Y-Wert ablesen und
passendes Yi auswählen, falls man mehrere gezeichnet hat (umändern mit
).
Steigungswinkel einer Geraden:
MODE Func ; MODE Degree; z.B.
für y = 2x, 2nd tan-1(2) ENTER 63.43 ...°
(Schnittwinkel zwischen zwei
Geraden als Differenz zwischen den positiven Winkeln, z.B. - 45°
als 135°)
Schnittpunkt zweier Geraden:
MODE Func ; z.B. für Y1 = 0,75X - 6,75 und Y2 = X - 8 ; ZOOM 4 (ZDecimal) oder 6 (ZStandard) oder WINDOW passend wählen, mit GRAPH zeichnen lassen;
CALC 5 (intersect); first curve ENTER, second curve
ENTER, guess? ENTER,
Intersection X=5 und Y= -3
Bemerkung: Mit 2nd QUIT, ALPHA X STO A und ALPHA Y STO B lassen sich sie beiden Werte zur späteren Weiterverwendung speichern.
Nullstelle einer Geraden:
MODE Func ; z.B. für Y1 = 0,75X - 6,75, mit GRAPH zeichnen lassen,
CALC 2 (zero); Left Bound (negativen
Y-Wert nahe der Nullstelle suchen) ENTER, Right Bound
(positiven
Y-Wert nahe der Nullstelle suchen) ENTER, guess? ENTER, Zero X=9 und Y=
0 ; analog: Nullstellen
beliebiger (meist) ganzrationaler Funktionen
Lineare Regression:
z.B.: 2nd(
( { ) also {1,3,5,7 } STO L1 und {2.4, 3.7,5,6.3 } STO L2; STAT
CALC 4 (LinReg
(ax+b) L1, L2, ENTER:
Lin Reg y=ax+b, a= .65, b=1.75, also die Näherungsgerade y = 0,65x + 1,75 ; (bei nur zwei Punkten erhält man die genaue Gerade)
Bemerkung:
mit STAT CALC 4 (LinReg
(ax+b) L1, L2, Y1; ENTER ( über
VARS,
Y-VARS 1
(Function), mit 1 Y1
auswählen - in manchen Taschenrechnern muss man altes Y1 vorher löschen -
zeichnet der GTR die Gerade, die man mit GRAPH betrachten kann.
Quadratische Regression analog, STAT CALC 5
(QuadReg) . analog mit 6, 7 und 0 weitere Regressionen für den Schulgebrauch.
Trigonometrische Funktionen:
Beachten: MODE Degree bei Winkelangaben, z.B. cos 21,4° ENTER .931.... Achtung: z.B. Y1 = cos(X) zeigt im GRAPH-Menü unter ZOOM 7
(ZTrig) für X Winkel an, z.B. mit TRACE ablesbar!
MODE Radian für Funktionen, z.B. Y1 = cos(X) braucht man, wenn man das Schaubild mit Schaubildern nicht-trigonometrischer Funktionen vergleichen will, weil man dann auf eine gemeinsame x-Achse angewiesen ist. Dann ist X ein Bogenmaß.
zusammengesetzte Funktionen
und abschnittweise Darstellung:
MODE Func ; z.B.
Y1 =
(.5X^3 )(X- 3)(X
3) + (X + 2) )(X
3)(X
7) ; mit
aus 2nd TEST 3
und
aus 2nd TEST 6
,
mit GRAPH zeichnen lassen,
Um Fehler in der Darstellung zu vermeiden, bitte die Funktionsterme in Klammern setzen.
Ableitungsfunktion:
MODE Func ; z.B. Y1 = .5X^3 - 3X + 2 ; mit GRAPH zeichnen lassen,
Y2 = nDerive(Y1,X,X) : das geht mit MATH 8, VARS, Y-VARS 1
(Function), und mit 1 Y1
auswählen :
Extremwerte, lokales Maximum:
(Kurvenverlauf muss auf dem Bildschirm sichtbar sein!)
MODE Func ; GRAPH , z.B.
Y1 =
0,5X^3 - 3X + 2, Y2 = nDerive(Y1,X,X),
entweder
CALC 4 (maximum) Y1; Left Bound (linken Y-Wert
nahe dem Hochpunkt suchen) ENTER, Right Bound
(rechten
Y-Wert nahe dem Hochpunkt suchen) ENTER, guess? ENTER, Zero X=-1.4142... und Y= 4.8282...
oder
CALC 2 (zero) Y2;
Left Bound
(negativen
Y-Wert nahe der Nullstelle suchen) ENTER, Right Bound
(positiven
Y-Wert nahe der Nullstelle suchen) ENTER, guess? ENTER, Zero X=-1.4142... und
Y= 0 umändern mit in Y= 4.8282...
Extremwerte, lokales Minimum:
MODE Func, z.B. Y1 = 0,5X^3 - 3X + 2, Y2 = nDerive(Y1,X,X), Y3 = nDerive(Y2,X,X), mit GRAPH zeichnen lassen,
entweder
CALC 3 (minimum) Y1; Left Bound (linken Y-Wert
nahe dem Tiefpunkt suchen) ENTER, Right Bound
(rechten
Y-Wert nahe dem Tiefpunkt suchen) ENTER, guess? ENTER, Zero
X=1.4142... und Y=-.8284...
oder
CALC 2 (zero) Y2;
Left Bound
(negativen
Y-Wert nahe der Nullstelle suchen) ENTER, Right Bound
(positiven
Y-Wert nahe der Nullstelle suchen) ENTER, guess? ENTER, Zero
X=1.4142... und
Y= 0 umändern mit in Y=-.8284...
Wendepunkt:
MODE Func ; z.B. Y1 = 0,5X^3 - 3X + 2, Y2 = nDerive(Y1,X,X), Y3 = nDerive(Y2,X,X), mit GRAPH zeichnen lassen,
entweder (hier in diesem Beispiel)
CALC 3 (minimum) Y2; Left Bound
ENTER, Right Bound
ENTER, guess? ENTER,
Zero X=0... und Y=-3 und
Y= -3 umändern mit in Y=2
oder
CALC 2 (zero)
,
Y3; Left Bound
ENTER, Right Bound
ENTER, guess? ENTER,
Zero X=0... und
Y= 0 umändern mit ,
in Y=2
Wendetangente:
2nd PRGM (DRAW) für Y1, 5 (Tangent), X=0, ENTER , ablesen Y=-3x+2, Achtung: 2,9999995 =
3 !
Parabeln:
z.B. f(x) = ax3 + bx2 +cx + d mit f(0) = 0, f(1) = 1, f ´(1) = -1 , f ´´(1) = 0 führt auf d = 0 und
auf mit 2nd x-1 (MATRIX)
EDIT 1 (MATRIX [A]), 3 x 4,
1a + 1b + 1c = 1 eintippen [1 1 1 1] (waagrecht tippen, mit ENTER bestätigen, senkrecht Tippfehler kontrollieren)
3a + 2b + 1c = -1 [3 2 1 -1]
6a + 2b + 0c = 0 [6 2 0 0]
weiter mit 2nd MODE (QUIT), MATRIX
MATH, ALPHA B
auf rref(MATRIX NAMES 1 ([A]) ), ENTER
auf rref([A]), ENTER und es erscheint [1 0 0 2]
[0 1 0 -6]
[0 0 1 5]
übersetzen in 0a + 0b + 1c = 5, 0a + 1b +0c = -6, 1a + 0b +0c = 2, also f(x) = 2x3 - 6x2 +5x .
Kombinatorik:
: 5 MATH
PRB 3 (nCr) 3
ENTER ; 10 wird angezeigt
Praxis der Binomialverteilung:
Beispiel: 3 x
würfeln, k Anzahl der Einser
Auflisten der Treffer von 0 bis 3 |
P( genau k Treffer) P(X=k) |
P( höchstens bis zu k Treffern) P(X |
P( mindestens k Treffer) 1 - P(X |
2nd STAT
( |
2ndVARS ( |
DISTR ALPHA A(binomcdf) |
|
seq(X,X,0,3)
STO L1 ENTER |
binompdf(3,1/6) STO L2 ENTER |
binomcdf(3,1/6) STO L3 ENTER |
1- L3 ENTER STO L4 ENTER |
es erscheint: {0,1,2,3} oder in STAT 1 (Edit eine Liste L1mit den Zahlen untereinander |
es erscheint: {0,5787... , usw } oder in STAT 1 (Edit eine Liste L2 mit den Zahlen untereinander |
es erscheint: {0,5787... , usw } oder in STAT 1 (Edit eine Liste L3 mit den aufsummierten Wahrscheinlichkeiten untereinander |
es erscheint: {0,4213... , usw } oder in STAT 1 (Edit eine Liste L4 mit den aufsummierten Gegenwahrscheinlichkeiten untereinander („eine Zeile höher ablesen“) |
|
STAT PLOT
1 auf ON Xlist : L1 Ylist: L2 Mark: · |
STAT PLOT 2 auf ON Xlist : L1 Ylist: L3 Mark: + |
STAT PLOT
3 auf ON Xlist : L1 Ylist: L3 Mark: ° |
Mit MODE Func ; ZOOM 9 (ZoomStat) erscheint eine passende
Graphik. Mit TRACE (oder in STAT Edit 1) kann man die einzelnen Werte ablesen,
wenn man mit oder
von P1:L1,L2 je nach Bedarf nach P2:L1,L3 oder
P3:L1,L4 wechselt.
Achtung!: z.B. P(X2) = 1 - P(X
1), also in P3:L1,L4 bei X=1 ablesen.
Diese Tabelle
lässt sich mit Platzhaltern verallgemeinern, so dass immer die richtigen
Tabellen zur Verfügung stehen:
Beispiel: 10 x
würfeln, 10 STO ALPHA N (= Länge einer Bernoulli-Kette) , X Anzahl der Einser, p
= 1/6 STO ALPA P (= Trefferwahrscheinlichkeit), also eine Bn;p-verteilte
Zufallsvariable, hier B10;1/6.
Also n STO
ALPHA N und p STO ALPA P genügen, wenn folgende Tabelle eingegeben bleibt:
(Die
Anführungszeichen " (ALPHA+) braucht man, um bei wechselnden Werten von N oder P
eine automatische Neuauswertung zu erhalten.)
Auflisten der Treffer von 0 bis n |
P( genau X Treffer) P(X=k) oder Bn;p(k) |
P( höchstens, bis zu X Treffer) |
P( mindestens X Treffer) |
LIST OPS
5(seq) |
DISTR 0(binompdf) |
DISTR ALPHA A(binomcdf) |
|
In STAT EDIT auf dem L1-Platz Mit " (ALPHA +) umrahmen, "seq(X,X,0,N)” ENTER oder "seq(X,X,0,N)” STO L1 ENTER |
In STAT EDIT auf dem L2-Platz Mit " umrahmen, "binompdf(N,P) " ENTER oder " binompdf(N,P)” STO L2 ENTER |
In STAT EDIT auf dem L3-Platz Mit " umrahmen, "binomcdf(N,P)" ENTER oder " binomcdf(N,P)” STO L3 ENTER |
In STAT EDIT auf dem L4-Platz Mit " umrahmen, "1- L3" ENTER oder "1- L3" STO L4 ENTER |
es erscheint: {0;1;2;,...N} in STAT 1 (Edit eine Liste L1mit den Zahlen untereinander |
es erscheint: {0,16151... ; usw } in STAT 1 (Edit eine Liste L2 mit den Zahlen untereinander |
es erscheint: {0,16151... ; usw } in STAT 1 (Edit eine Liste L3 mit den aufsummierten Wahrscheinlichkeiten untereinander |
es erscheint: {0,83849... ; usw } oder in STAT 1 (Edit eine Liste L4 mit den aufsummierten Gegenwahrscheinlichkeiten untereinander („eine Zeile höher ablesen“) |
|
STAT PLOT
1 auf ON Xlist : L1 Ylist: L2 Mark: · |
STAT PLOT
2 auf ON Xlist : L1 Ylist: L3 Mark: + |
STAT PLOT
3 auf ON Xlist : L1 Ylist: L3 Mark: ° |
Mit MODE
Func ; ZOOM 9 (ZoomStat) erscheint
eine passende Graphik. Mit TRACE (oder in STAT Edit 1) kann man die einzelnen
Werte ablesen, wenn man mit oder
von P1:L1,L2 je nach Bedarf nach P2:L1,L3 oder
P3:L1,L4 wechselt.
Achtung!: z.B.
P(X2) = 1 - P(X
1), also in P3:L1,L4 bei X=1 („eine Zeile höher ablesen“)
ablesen.
Oft geht es schneller, nur einen Einzelfall zu betrachten, allerdings dann ohne Grafik:
z.B. n = 120 , p = .15 P(X=12) = binompdf(120,.15,12) = 0,3261 (Wahrscheinlichkeit für genau 12 Treffer)
P(X12) = binomcdf(120,.15,12) = 0,746
(Wahrscheinlichkeit für bis zu12 Treffer) „kumulierte
Wahrscheinlichkeitsdichte“
Beispiel: n x würfeln, also eine Bn;1/6 -
verteilte Zufallsvariable, wann P(mindestens drei Sechser) = 1 - P(X2),
0,8?
ohne Graphik:
seq(1 - binomcdf(X,1/6,2),X,1, 30), wobei man mit 1 beginnen (sonst zählt der GTR falsch) und die 30 probieren muss, STO L1,
in STAT 1
runterblättern und ablesen
L1(25) =.8113,
also n 25.
mit Graphik
(geht offensichtlich nur mit MODE seq und STAT PLOT auf Off):
unter Y= erscheint dann ein anderes Menü mit
nMin=1
oder 3, u(n)= 1 - binomcdf(n,1/6,2) , v(n)=.8 ,
GRAPH, danach mit TRACE und n=25, X=25 und Y=.8113 ablesen
WINDOW nMin=1, nMax=30, Xmin=0, Xmax=30, Ymin=0, Ymax=1.1, Yscl=.1 genügen.
Testen von Hypothesen: (dauert
bei langen Bernoulli-Ketten im Grafik-Modus beim Aufsummieren sehr lang!)
z.B. ein Politiker hatte bei der letzten Wahl 40 % Stimmen. Mit einer Stichprobe bei 100 Befragten will er testen, ob er an Zustimmung gewonnen oder verloren hat. Er riskiert 5% Fehleinschätzung (Irrtumswahrscheinlichkeit).
mit Graphik:
100 STO ALPHA N, 0.4 STO ALPHA P, der obigen “Platzhalter-Tabelle” mit L1, L2 L3, L4, Y1=0.05 und Y2=0.95 plottet man (L2 und) L3 und die gewünschten Grenzen. WINDOW Xmin=25, Xmax=55 (d.h. jeweils 15 vom Erwartungswert 40 entfernt), Ymin=0, Ymax=1.1, Yscl=.1 genügen.
GRAPH, mit TRACE P2:L1,L3 kann man den linken Bereich {0, 1,
,,, , 31} ablesen, d.h. stimmen 31 oder weniger Befragte für ihn, so geht er
mit mindestens 95%iger Wahrscheinlichkeit davon aus, dass sein Stimmenanteil
gesunken ist. Analog erhält er den rechten
Bereich {49=48+1, 50, ,,, , 100}, d.h. stimmen 49 oder mehr
Befragte für ihn, so geht er mit mindestens 95%iger Wahrscheinlichkeit davon
aus, dass sein Stimmenanteil gestiegen ist. (um 1 höher zählen deshalb,
weil P(T
49) = 1 - P(T
48)
0,05 ; vgl. L4)
Er riskiert (als Fehler 1. Art) in beiden Fällen, dass er mit höchstens 5%iger Wahrscheinlichkeit nur eine zufällig unzutreffende Befragungssituation hatte.
ohne Graphik:
Mit STAT 1 (=Edit) kann man die Liste L3 abwärts verfolgen bis in L3 ein letzter Wert kleiner als 0.05 auftaucht, hier X=31 und weiter, bis in L3 ein zweiter Wert größer als 0.95 auftaucht, hier X= 49. (Das geht auch mit MODE Seq.)
Bemerkung:
Das 11er-Buch verwendet ab
Seite 167 in den Zeichnungen irreführend P1:L1,L2
, um den Ablehnungsbereich sichtbar zu machen. Doch der wird nur
durch P2:L1,L3 und die gewünschte Irrtumswahrscheinlichkeit P(Tg)
α bzw. P(T
g) = 1 - P(T
(g-1))
α festlegt. Den Sinn von Fehlern 2.Art konnte
mir bis heute niemand erklären. Man kann sie als Zahl zwar ausrechnen, doch was
fängt man in der Praxis mit dieser Zahl eigentlich an?